三角函数内容规律 ]MF8]Qgf
! LeMP
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4>6+s,<F5
D".9Z>Q\q)
1、三角函数本质: 3jQ^Cw}aA
%"-.,YSs'
三角函数的本质来源于定义 "o;3x{$R
g k$Q-9w
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4&,1g]}o6z
E/+TWq14
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 WplL^~Q
fS-,o@.(y>
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 0t.?%.n
@Xe"Q8
推导: %){n^v#<S
}aEU
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 bNqSu=
-6(h!F(
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) []F#rj\
W~
J,\H>
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) %#
/najEF
@lsm}N)
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 {X|Hnq
B:;SY8I>W
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) P'9yr @66
HT
~3=
[1] 7z>.Nx
/cMKW)n=>
两角和公式 hS ^U&?
DNjuWdd
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB "Q2!?r}
J
,j4h%doc
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB iK:
pS[
'Xkp1G)
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Wpr,>E_-
JqO|@K"Z*
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB GGv=5=
J`
H$#|`-f
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) r',&-c<
1v-*_e_
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) #3;pQhr
tnh[LpM
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) R*!6_dm
Hp[U9WZ6
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) \y[ 8S\F 9
J2%[%FyP
倍角公式 %3H@b=wI2&
Cd]_\gDp
Sin2A=2SinA•CosA ;}O&XCe'Aj
)Bq$7Nh
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 A@Cmq$L$
?8;VzQ^+
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) nz@Za
jkKnza
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) zAZ+HQ(^
hs&lmc#]
三倍角公式 VQNIA/,VW
#g*+
nZW._\)YV
n{'fi
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) *ijjF`t
GJ
dJ4^pG8V
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ;e
+0u'
XceBxQ
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) mI|9Ws)7
iCv,Z#R
三倍角公式推导 34OS3.7M
@lLPsfmu
sin3a C
~7w9YA
y[,Cwc3Y
=sin(2a+a) ]/zBb8
8D
ia+eZ
=sin2acosa+cos2asina za,N(%A.>
im/d? 3{
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina T
8*tgbMn
^._W8=b
=3sina-4sin³a k3@2>,A
cXKp;(5
cos3a 1kkf<b f
Va tAC
=cos(2a+a) <7f\dC
*0!|AK3gP
=cos2acosa-sin2asina q<#Iq4
`M|<CR=<G
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa VU:0$Dw
([rsv6!]"m
=4cos³a-3cosa \}1 !;}pR[
{f!n^"
sin3a=3sina-4sin³a V. ' ^y
@|DdF9HjL
=4sina(3/4-sin²a) 36x7k{U
XV?d
#w:>
=4sina[(√3/2)²-sin²a] TotW%$ U7
>
2]
=4sina(sin²60°-sin²a) :I[R^T
nNX!u\w]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (%9W"ZN?
Wcx]AvLq
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] +gAVJ,i<B
[U|pe
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 83cL$
/$4< >M
cos3a=4cos³a-3cosa P ^3k
&Y
lxr,8A
:R
=4cosa(cos²a-3/4) |mm3k
'1BPgpd:x
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] *VRR
/WE#F{c
m
=4cosa(cos²a-cos²30°) 69]@ qEc
oGTX]]N6
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 61fR*>
sOq5t)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
Cc&*F*u|
puO ",8N.
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) oL6@NgX
d 3
ic
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q{CrLg
maE^{I\jr
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (+gN559f<
4 -iVO
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) f+'+{9AS
(?[Zwt|8U
上述两式相比可得 /{.1Pt0$(
Y*\
Ng55V
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) cB8fb^I
(W5hfR&
半角公式 =53Spc4
^8
+\d
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); fI2HHGJR:
L}A<c6lcz
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. CZ:Adu>To
t)2, 9?W_
和差化积 H_r2U.`eJ
'YYbXSe#
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (K/I
2t
~9)B $8|
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *fnx@k[
p>UPGHA
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >,\^Y Bn
_=
FC!8m6
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _!%yN
*
-Dsr~Ir
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) \f1^)C#8dD
@I~Y!<
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 7g2q=W%Wy
s8rqHq
积化和差 t/P|r
|Q5u#<jBV
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] PcOkGYSd2
)\j @x
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] y
`JL#
Nu=S}\6
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] =cd3zXUxL
{C
9E k3
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] SA*@SgM
19y[`{."
诱导公式 ]=&q6{/X
;5DAL}/#8k
sin(-α) = -sinα t/;{X%
?
K;+J4wh)
cos(-α) = cosα @M\P%+;f0
/$F)lz
sin(π/2-α) = cosα /h_E)c44
!m[mjt
cos(π/2-α) = sinα ~2?],_
=oo
e~Q
sin(π/2+α) = cosα P3
M*g3"
xv24
Oi&1
cos(π/2+α) = -sinα ^Vj:e XJF
dlFM{i,%
sin(π-α) = sinα gO3r
)sD
rGVtZ
cos(π-α) = -cosα 1Wh]=\;m
}aVA w_\1?
sin(π+α) = -sinα B%w*c1:%%I
aR>0"@GS!
cos(π+α) = -cosα l_]Ey
"O|ONIq5
tanA= sinA/cosA g~L_yS\\)
)enJ^
aV
tan(π/2+α)=-cotα lGh- j4mH
5N,aQ&R&-
tan(π/2-α)=cotα '30$?<
[_v
O/1W7r%G1
tan(π-α)=-tanα H A qy
BpqG
tan(π+α)=tanα 0hH>~"I8
hI "%v!
万能公式 +L\f.0C
9@Y4vTF
Ph_2#zJ'
yNoqVe
其它公式 0^1NA,U
uAw;5GJ
(sinα)^2+(cosα)^2=1 RgL >/3
X)?kt
1+(tanα)^2=(secα)^2 ?#]Q^KO`
S0t$g]Y?=
1+(cotα)^2=(cscα)^2 fB75EF1f<
m7(<vwh
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 D#7q2d
7Ai4 N\
对于任意非直角三角形,总有 3<l4P<_
mZu`#ZsD
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bDZy`uHk
*2o;{s#C[
证: tm|R;<8Y
. =~qiN'D
A+B=π-C !KdYE}A<Bx
E<jKH
Za
tan(A+B)=tan(π-C) 3MLgji
5Lqy,
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ~,jyCzds~
OW (]Z=H
整理可得 }PX\>Ndy
rY2A#DdB
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]VD m!' r
X[EGYl}S
得证 ]Ts$x+;#
&>hA/k/
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 YW/ oSn_vG
e4Jx]+gys
其他非重点三角函数 =nLl1{:
N[=B sBc~
csc(a) = 1/sin(a) oOU,$#,t\
|8!#OsU
sec(a) = 1/cos(a) n,(>\qqxT
bR]=61)Lq
TX]OM](3A
P@]1 D5y1
双曲函数 z+;h
b]0
yA LM3K
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 S}`[H
d
4,qqvB4
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 od}o 8+
)Gz2w
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 63+M1Ths
-}7[{9r
公式一: ?:@cW]_
KVkPQ+
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: (c^HM/N)Q
wVC{AV
sin(2kπ+α)= sinα ?st7_(U2[
.pOsY1|G0
cos(2kπ+α)= cosα 1PQt>vr.
)6VG;yJb
tan(kπ+α)= tanα M\J.iMD;xt
~|Xv2UEQ
cot(kπ+α)= cotα nFK<qn=
Z/oU`YG^
公式二: p}Hgp
,z
oS~gLo4)R
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: dJ%bG)"~
C0No]cNkd
sin(π+α)= -sinα *_1'\[
a8nI:g'R
cos(π+α)= -cosα VID9zj!\=
aV-?F+Z}
tan(π+α)= tanα Lgg_5e%[
P`qP'
cot(π+α)= cotα ]zj
h=`n
]o0my8[)V
公式三: vpfc$'
yge
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: MtMecA,1<
sr.niES1
sin(-α)= -sinα 3~>Y7)Y7
e8d $
cos(-α)= cosα M'2l|Ec|+N
jxsXFNgW
tan(-α)= -tanα 7rfbFAS
Fc| q_:t
cot(-α)= -cotα h[C_Y\fe7
b aosL//
公式四: Y 6K[#
Nhjh;V'
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ^1Yv/
V%
AP9OG(0^,8
sin(π-α)= sinα 8X:Bo{P~u
BAA3[Re
cos(π-α)= -cosα w0IRS,9
r
fA,M
/Z
tan(π-α)= -tanα :}Ap0RK~
KD)S<Pv>-
cot(π-α)= -cotα 0#o>F$
3%#Lg
uV!
公式五: \gU;c{;C
3X (Wd
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: K?yx]Rn;
$PJ #
]C
sin(2π-α)= -sinα Ic / Az
hG]*S4r
cos(2π-α)= cosα 2RTMwLj
fdUGTd,3
tan(2π-α)= -tanα t/O?sqSu5
Vu+$?\FS
cot(2π-α)= -cotα fRsTbv
(H~mjr}B%|
公式六: 1?)E]M^Njj
? 5d@h
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: -"/" |v[
fZhhQP|;|
sin(π/2+α)= cosα m7fX9({
P5Q2^[
cos(π/2+α)= -sinα "~p
}Mo`
XQ,}-=
Jr
tan(π/2+α)= -cotα '<ia'
#1 #7-f
cot(π/2+α)= -tanα N9}s#i;N@>
V
[#Lj
sin(π/2-α)= cosα 7Tl!%E-
-uL.i|j+
cos(π/2-α)= sinα Tqv
.i}C
W#M@_Hy9He
tan(π/2-α)= cotα Q-(RAs:
*TOKv<M{
cot(π/2-α)= tanα tQJax*B1N
RdY_!cls
sin(3π/2+α)= -cosα ;Ew@^Df[
,pyh!
cos(3π/2+α)= sinα p[o=(1qu#
Ku
,p=fr
tan(3π/2+α)= -cotα Bt ~#00
Nei#Nss6
cot(3π/2+α)= -tanα $,. m>)/6
x/xwGZr
sin(3π/2-α)= -cosα AP>L!*
j [HC:Gy'-
cos(3π/2-α)= -sinα x<A]6Q/t4
XI0Sq6JJ
tan(3π/2-α)= cotα 3Hqjm^,V
z<Xkj
cot(3π/2-α)= tanα #^z=I0&Vy
;w Qop y
(以上k∈Z) W-%'l.u
-t(AIqXgH
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 kRXt59{f
k*IbG?{
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2c*.hb
YY'Fgwd,
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } bB!"+
@*$a$Fis
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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