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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ]MF8] Qgf  
!LeMP  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4>6+s,<F5  
D".9Z>Q\q)  
　　1、三角函数本质： 3jQ^Cw}aA  
%"-.,YSs'  
　　三角函数的本质来源于定义 "o;3x{$R  
g k$Q-9w  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 4&,1g]}o6z  
E/+TWq14  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 WplL^~Q  
fS-,o@.(y>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 0t.?%.n  
@ Xe"Q8  
　　推导： %){n^v#<S  
}aEU  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 bNqSu=  
- 6(h!F(  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) []F#rj \  
W~ J,\H>  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) %# /najEF  
@lsm}N)  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 {X|Hnq  
B:;SY8I>W  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） P'9yr @66  
HT ~3=  
　　[1] 7z>.Nx  
/cMKW)n=>  
　　两角和公式 hS ^U&?  
D Nju Wdd  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB "Q2!?r}  
J ,j4h%doc  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  iK:  pS[  
'Xkp1G)  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Wpr,>E_-  
JqO|@K"Z*  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB GGv=5= J`  
H$#|`- f  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) r',&-c<  
1v-*_e_   
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) #3 ;pQhr  
tn h[LpM  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  R*!6_dm  
Hp[U 9WZ6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) \y[8S\F9  
J2%[%FyP  
倍角公式 %3H@b=wI2&  
Cd]_\gDp   
　　Sin2A=2SinA•CosA ;}O&XCe'Aj  
)Bq$7Nh  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 A@Cmq$L$  
?8;VzQ^+  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） nz@Za  
jkKnza  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） zAZ+HQ(^  
hs&lmc#]  
三倍角公式 VQNIA/,VW  
# g*+  
　　 nZW._\)YV  
n{'fi  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) *ijjF`t GJ  
dJ4^pG8V  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ;e +0u'  
XceBxQ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) mI|9Ws)7  
iCv,Z#R  
三倍角公式推导 34OS3.7M  
@lLPsfmu  
　　sin3a C ~7w9YA  
y[,Cwc3Y  
　　=sin(2a+a) ]/zBb8 8D  
ia+eZ  
　　=sin2acosa+cos2asina za,N(%A.>  
im/d? 3{  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina T 8*tgbMn  
^. _W8=b  
　　=3sina-4sin³a k3@2>,A  
cXKp;(5  
　　cos3a 1kkf<b f  
Va tAC  
　　=cos(2a+a) <7f\dC  
*0!|AK3gP  
　　=cos2acosa-sin2asina q<#Iq4  
`M|<CR=<G  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa VU:0$Dw  
([rsv6!]"m  
　　=4cos³a-3cosa \}1!;}pR[  
{f!n^"  
　　sin3a=3sina-4sin³a V.' ^y  
@|DdF9HjL  
　　=4sina(3/4-sin²a) 36x7k{ U  
XV?d #w:>  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] TotW%$U7  
> 2]   
　　=4sina(sin²60°-sin²a) : I [R^T  
nNX!u\w]  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (%9W"ZN?  
Wcx]AvLq  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] +gAVJ,i<B  
[U|pe  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 83cL$   
/$4< >M  
　　cos3a=4cos³a-3cosa P^3k &Y  
lxr,8A :R  
　　=4cosa(cos²a-3/4) |mm3k  
'1BPgpd:x  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²]  *VRR  
/WE#F{c m  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 69]@ qEc  
oG TX]]N6  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 61fR*>  
sOq5t)  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}  Cc&*F*u|  
puO ",8N.  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) oL6@NgX  
d 3 ic  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q{CrLg  
maE^{I\jr  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (+gN559f<  
4 -iVO  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) f+'+{9AS  
(?[Zwt|8U  
　　上述两式相比可得 /{.1Pt0$(  
Y*\ Ng55V  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) cB8fb^I  
( W5hfR&  
半角公式 =53Spc4  
^8 +\d  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); fI2HHGJR:  
L}A<c6lcz  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. CZ:Adu>To  
t)2,9?W_  
和差化积 H_r2U.`eJ  
' YYbXSe#  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (K/I 2t  
~9)B $8|  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *fnx@k[  
p>UPGHA  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >,\^YBn  
_= FC!8m6  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _!%yN *  
-Dsr~Ir  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) \f1^)C#8dD  
@I~Y!<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 7g2q=W%Wy  
s8rqHq  
积化和差  t/P|r  
|Q5u#<jBV  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] PcOkGYSd2  
)\j @x  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] y `JL#  
Nu=S}\6  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] =cd3zXUxL  
{C 9Ek3  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] SA*@SgM  
19y[`{."  
诱导公式 ]=&q6{/X  
;5DAL}/#8k  
　　sin(-α) = -sinα t/;{X% ?  
K;+J4wh)  
　　cos(-α) = cosα @M \P%+;f0  
/$F)l z  
　　sin(π/2-α) = cosα /h_E)c44  
!m[mjt  
　　cos(π/2-α) = sinα ~2?],_  
=oo e~Q  
　　sin(π/2+α) = cosα P3 M*g3"  
xv24 Oi&1  
　　cos(π/2+α) = -sinα ^Vj:e XJF  
dlFM{i,%  
　　sin(π-α) = sinα gO3r )sD  
rG Vt Z  
　　cos(π-α) = -cosα 1Wh]=\;m  
}aVA w_\1?  
　　sin(π+α) = -sinα B%w*c1:%%I  
aR>0"@GS!  
　　cos(π+α) = -cosα l_]Ey  
"O|ONIq5  
　　tanA= sinA/cosA g~L_yS\\)  
)enJ^ aV  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα lGh-j4mH  
5N,aQ&R&-  
　　tan（π/2－α）＝cotα '30$?< [_v  
O/1W7r%G1  
　　tan（π－α）＝－tanα H A qy  
BpqG  
　　tan（π＋α）＝tanα 0hH >~"I8  
h I "%v!  
万能公式 +L\f.0C  
9@Y4vTF  
　　 Ph_2#zJ'  
yNoqVe  
其它公式 0^1NA,U  
uAw;5GJ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 RgL>/3  
X)?kt  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?#]Q^KO`  
S0t$g]Y ?=  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 fB75EF1f<  
m7(<vwh  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 D#7q2d  
7Ai4N\  
　　对于任意非直角三角形,总有 3<l4P<_  
mZu`#ZsD  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC bDZy`uHk  
*2o;{s#C[  
　　证: tm|R;<8Y  
. =~qiN'D  
　　A+B=π-C !KdYE}A<Bx  
E<jKH Za  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 3MLgji  
5Lqy,  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ~,jyCzds~  
OW(]Z=H  
　　整理可得 }P X\>Ndy  
rY2A#DdB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]VD m!'r  
X[EGYl}S  
　　得证 ]Ts$x+;#  
&>hA/k/  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 YW/ oSn_vG  
e4Jx]+gys  
其他非重点三角函数 =nLl1{:  
N[=BsBc~  
　　csc(a) = 1/sin(a) oOU,$#,t\  
|8!#OsU  
　　sec(a) = 1/cos(a) n,(>\qqxT  
bR]=61)Lq  
　　 TX]OM](3A  
P@]1 D5y1  
双曲函数 z+;h b]0  
yA LM 3 K  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 S}`[H d  
4,qqvB4  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 od}o 8+  
 )Gz2w  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 63+M1Ths  
-}7[{9r  
　　公式一： ?:@cW]_  
KVkPQ+  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： (c^HM/N)Q  
wVC{AV  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ?st7_(U2[  
.pOsY1|G0  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 1PQt>vr.  
)6VG;yJb  
　　tan（kπ＋α）= tanα M\J.iMD;xt  
~|Xv2UEQ   
　　cot（kπ＋α）= cotα nFK<qn=  
Z/oU`YG^  
　　公式二： p}Hgp ,z  
oS~gLo4)R  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： dJ%bG)"~  
C0No]cNkd  
　　sin（π＋α）= -sinα *_1'\[  
a8nI:g'R  
　　cos（π＋α）= -cosα VID9zj!\=  
aV-?F+Z}  
　　tan（π＋α）= tanα Lgg_5e%[  
P`qP'  
　　cot（π＋α）= cotα ]zj h=`n  
]o0my8[)V  
　　公式三： vpfc$'  
yge  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： MtMecA,1<  
sr.niES1  
　　sin（-α）= -sinα 3~>Y7)Y7  
e8d $  
　　cos（-α）= cosα M'2l|Ec|+N  
jxsXFNgW  
　　tan（-α）= -tanα 7rfb FAS  
Fc| q_:t  
　　cot（-α）= -cotα h[C_Y\fe7  
b aosL//  
　　公式四： Y 6K[#  
Nhjh;V'  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ^1Yv/ V%  
AP9OG(0^,8  
　　sin（π-α）= sinα 8X:Bo{P~u  
BAA3[Re  
　　cos（π-α）= -cosα w0IRS, 9  
r fA,M /Z  
　　tan（π-α）= -tanα :}Ap0RK~  
KD)S<Pv>-  
　　cot（π-α）= -cotα 0#o>F$  
3%#Lg uV!  
　　公式五： \g U;c{;C  
3X (Wd  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： K?yx]Rn;  
$PJ # ]C  
　　sin（2π-α）= -sinα Ic /Az  
h G]*S4r  
　　cos（2π-α）= cosα 2RTMwLj  
fdUGTd,3  
　　tan（2π-α）= -tanα t/O?sqSu5  
Vu+$?\FS  
　　cot（2π-α）= -cotα fRsTbv  
(H~mjr}B%|  
　　公式六： 1?)E]M^Njj  
?5d@h  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： -"/"|v[  
fZhhQP|;|  
　　sin（π/2+α）= cosα m7fX9({  
P5Q2^[  
　　cos（π/2+α）= -sinα "~p }Mo`  
XQ,}-= Jr  
　　tan（π/2+α）= -cotα '<ia'  
#1#7-f  
　　cot（π/2+α）= -tanα N9}s#i;N@>  
V [#Lj  
　　sin（π/2-α）= cosα 7Tl!%E-  
-uL.i|j+  
　　cos（π/2-α）= sinα Tqv .i}C   
W#M@_Hy9He  
　　tan（π/2-α）= cotα Q-(RAs:  
*TOKv<M{  
　　cot（π/2-α）= tanα tQJax*B1N  
RdY_!cls  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ;Ew@^Df[  
,pyh!  
　　cos（3π/2+α）= sinα p[o=(1qu#  
Ku ,p=fr  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Bt ~#00  
Nei#Nss6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $,.m>)/6  
x/xwGZr  
　　sin（3π/2-α）= -cosα AP>L!*  
j [HC:Gy'-  
　　cos（3π/2-α）= -sinα x<A]6Q/t4  
XI0Sq6JJ  
　　tan（3π/2-α）= cotα 3Hqjm^,V  
z<Xkj  
　　cot（3π/2-α）= tanα #^z=I0&Vy  
;wQop y  
　　(以上k∈Z) W-%'l.u  
-t(AIqXgH  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 kRXt59{f  
k*IbG?{  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2c*.hb  
YY'Fgwd,  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } bB !"+  
@*$a$Fis  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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