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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 K5&T4nvop`  
4 .~)TS=  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. [( G-qg0  
BY g& N 9  
　　1、三角函数本质： < xM_n<S  
sK2|" B6M  
　　三角函数的本质来源于定义 SO,/ 9{]=  
P!nar  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 qP[a" Z8[  
G.u3-{VEu  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 X`d  
A7Vq#` W  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 0$l0,+  
P,M;\  
　　推导： 7i@.yP)2  
*SkA2TNR  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 8kv~EZCd  
H< 6%8D*0  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))  9jT\h/  
+q^xFW= A  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @=g%:abo  
 h`nMga  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 |9g]NG^nv  
.v( Jm d:  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 4F,L]8%k)  
6UYutV9  
　　[1] #OOz*xw%+  
=ntQ}!}U  
　　两角和公式 MS\ObbbNO  
]C5:*@6Qs  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB AverB tRq  
:v#Qikj  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  .Gq`e1  
0[6 Lu@l  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB qQI(+Q  
(~Td~D  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB DM{>B*k  
~6TQm4Z  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) YT 6Ba H]  
QJKjI \,5  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) E rq4u;R  
"P s-(  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  \bCAm4]0  
P` qb  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Ss'q>rZZ  
yfT+ *  
倍角公式 .+M?$+Yt  
`+#PtsNx  
　　Sin2A=2SinA•CosA ,n2() S&  
YvX|b"\n  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 H\e?l!7T@  
aUCB*8Np  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^r!3 0  
]S/lhtRot  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 3&2hUk%%:  
+Y3?XoppO'  
三倍角公式 Vg%MIb(  
]TH9\R  
　　 0s=g2ArWA  
:bbP  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) #GShn:8n  
KVE^^a>:$  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) B/ kzJo*v  
` GGF4?  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Vlm5MmIz  
)EFC@\Ej!~  
三倍角公式推导 ,~ U  
(`LEJT9i  
　　sin3a Wn 88~6  
# 4 HYHV  
　　=sin(2a+a) uVmTk!/  
>{n=NI$t  
　　=sin2acosa+cos2asina ezp.H=}  
"U}$UHa  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina -J^T'{Pjh  
e/]!}d}O  
　　=3sina-4sin³a Xq!Xjb  
G(1[n3v  
　　cos3a t~*k%"w  
BZe Y|Va  
　　=cos(2a+a) mh+, -R  
*0S?tVQkp  
　　=cos2acosa-sin2asina "mf2 Ect[,  
9l 7JvD  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _C=>ah0  
;#'lkkfV}  
　　=4cos³a-3cosa &=n  
,:@+ 3  
　　sin3a=3sina-4sin³a 6?dI.3  
~L5/Lc>>T  
　　=4sina(3/4-sin²a) hX&x,s[  
/5>=\wit  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] XL8 %K^sCv  
l:+v/O  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) s& cJH)%,  
qCI[*X'tC  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 2)'+CNbZ  
V@ w^zvy+  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 7XUXH=P  
x+rtM*BeH  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ecnH'aK1  
"&Pn^V  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 7'Zu^#Hir-  
F|nK!^ p  
　　=4cosa(cos²a-3/4) GlkR"-c:  
@rr2Kle2|  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 0  [~,d  
o0RP] )  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) >} oH  
>zyRs  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) mJrg'.6  
i`0]^9.6XX  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} m*dyLT>  
vu*fj7  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) FF40/R[ t  
Lyr/y-(yB  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] k=YUa5Vt  
E< }`C|UN  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] f:T3@Ky  
w<D~F v^  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) > KP$Jz4!(  
[OkF\ :Y  
　　上述两式相比可得 > KFVxcb%t  
n:L mQ=)  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) C~kndRk  
AHTv]h#v[  
半角公式 B:^:F,~]O  
t%)0R,:1  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Sy~xt*E$  
&J9SH/   
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 9 R6;,6  
Oc1@;#8a  
和差化积 "} >96'Y  
"H d_6$R  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^*'}\H3  
4;-?#tN  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] od[;^s8  
[u+J ;t  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -;m3Le*  
Xj|y8LM  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ja|#cwkiG  
dr}#g"YU;  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) H-9pI cHIJ  
W6jh'g  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ?cPoW  
(jH9 o1  
积化和差 :Sz\;q8<  
e:nMLN $x  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /cPwg:k~  
qUW6ef1;a  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] xMqL8Ku  
ImrjxS<\  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -AH{=0d*  
g`0dE(1w  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] $~)Ue,6n  
C}g[ o:  
诱导公式 $DzRDA(m9  
{v<)&s qVK  
　　sin(-α) = -sinα dY _XZ>tY  
4*n"GJQ  
　　cos(-α) = cosα \z{bi #{p.  
q7i~,BE  
　　sin(π/2-α) = cosα k1_{7hKn  
-yVh0#NI^  
　　cos(π/2-α) = sinα G0O{~ RDi  
W"KU+{C=a  
　　sin(π/2+α) = cosα /pYYn4b Q  
selnPeV  
　　cos(π/2+α) = -sinα 3<0{&9X%  
fM}<Pqh  
　　sin(π-α) = sinα mHi#,}>U6  
,A{3av  
　　cos(π-α) = -cosα ntW_c)ZYU  
^ls=[*&  
　　sin(π+α) = -sinα +BfB .H  
s(S`YhxN  
　　cos(π+α) = -cosα ype1hMXEA  
1{HLGaYw  
　　tanA= sinA/cosA R l3JC  
kdn7y*!|%  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα vg07cVh%  
`= PXJ  
　　tan（π/2－α）＝cotα rPA (@$6_  
@.Lb'x8,  
　　tan（π－α）＝－tanα s3TwQP*Ad  
V6yFHe  
　　tan（π＋α）＝tanα ^R<\h_Q  
YN.[A@!&  
万能公式 {(4(:#XcE  
4_A{5Z6B  
　　 -n-:M  
v&_fY cO  
其它公式 Cx/`C5?  
?~K6` i|  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 dbj A  
j@!\$&<  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 d g`is1kHQ  
Sj2" Rfo  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 sHB[J=B1"n  
WvSM smp  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Pv$BM0P1  
QT tYJtxH  
　　对于任意非直角三角形,总有 Du&IQrLC  
n|Jr 2A}  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2{?nRF S Z  
<"z*d* )  
　　证: D?M m L.x~  
x|<{#*a  
　　A+B=π-C XyW[0m1  
R@_{xbb  
　　tan(A+B)=tan(π-C) #J;<zi.  
IV UJ  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V4W2Z"]W?  
,4L~wdN  
　　整理可得 F`'(R4u "  
GQR _pu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %U@\pa zt  
X \mgQx-88  
　　得证 MuUrQsi.  
![ ;HY+|  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ia3nSEm  
Q,}H!Md  
其他非重点三角函数 VHSwLwto  
L` jCTn3  
　　csc(a) = 1/sin(a) hr `>i(Z  
-y}t~H?w  
　　sec(a) = 1/cos(a) (KLb8oX  
!ekH4OM  
　　 U#RWmsOA!!  
=._ LReX  
双曲函数 fcX8W-@  
`}HP/ Wo"  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 S3# G/  
Z(`q_ny'V  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 *. ^8  
i%@-XRqZ M  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) \(kLHDu?  
&vT=GHQ  
　　公式一： 1vn+rUF  
vKdJSQsa  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 4`zzUd)v]  
(jMk7A[`  
　　sin（2kπ＋α）= sinα od&fD&9[AH  
r~Q'G5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +"1 L{) g  
P="xj<a a  
　　tan（kπ＋α）= tanα m c4 q`k  
XlnMw  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9C"tv0Fn  
)59T]7  
　　公式二： z0uo}  
L1r!NK-  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 9 ,Yu3u.T  
*>oHf  
　　sin（π＋α）= -sinα !2s!s([N  
7yEPk*L  
　　cos（π＋α）= -cosα pN)bFc"  
z}W'e3f9eZ  
　　tan（π＋α）= tanα "&zg|8  
`:3e([Yy  
　　cot（π＋α）= cotα AFr8ycd  
VP^)IIHb  
　　公式三： \0M-`m`e  
)-in8J hJ  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： $H1qmbJ !  
4 S^.E6#W  
　　sin（-α）= -sinα xAmlw  
y3 1t  
　　cos（-α）= cosα rU B q  
8ymFW@_0  
　　tan（-α）= -tanα QRj/s[~V  
se?s-14nal  
　　cot（-α）= -cotα QXFhi~0  
7Uo5Nt  
　　公式四： {P@ABZ;  
2<Pe$xv  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： H&"80Fm  
Yg&6>F]  
　　sin（π-α）= sinα yrCbFM3^  
XBVgvLW^  
　　cos（π-α）= -cosα 6GO +2"\  
l(+Zpix@/_  
　　tan（π-α）= -tanα EU`S )nm~  
.tZjRe  
　　cot（π-α）= -cotα /fw>w) e  
%J!*Uw  
　　公式五： EE`"y4Y  
tvkx42E  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Y.dn|gFIb  
:Q6k}{l  
　　sin（2π-α）= -sinα IB])n  
4H`H*rV  
　　cos（2π-α）= cosα fgr<,H!{Jg  
yhJ4t;z\/  
　　tan（2π-α）= -tanα z|M]JM!>  
{a't#{zg  
　　cot（2π-α）= -cotα {-?*;jIx  
BpL|(q0  
　　公式六： ogAv+l#pV  
C[#ndnv1  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： z $E7)^LP  
F!8@<4taa  
　　sin（π/2+α）= cosα &C@#lq9_  
U4nD6}B/  
　　cos（π/2+α）= -sinα k2x f?F  
M8O/}  
　　tan（π/2+α）= -cotα )/j, 8Q~zg  
> 5Ft'6x  
　　cot（π/2+α）= -tanα PCi^^Pf  
KDG/JP8 %  
　　sin（π/2-α）= cosα <edX``Y5  
x}B{|p_,Z  
　　cos（π/2-α）= sinα uI"K &  
 141hD4  
　　tan（π/2-α）= cotα %D0{ pWm  
+{ Hb2q  
　　cot（π/2-α）= tanα Us-.^85  
SDrs2=Z  
　　sin（3π/2+α）= -cosα He"[%jZ  
m7k[@$]Z-  
　　cos（3π/2+α）= sinα {6(Ww?x6!d  
R` =oE^}  
　　tan（3π/2+α）= -cotα mU!uX8f  
$=5Mi8[5  
　　cot（3π/2+α）= -tanα .laKF  
I13peA$q\f  
　　sin（3π/2-α）= -cosα e P:it,k  
Z'(&5KCQ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ()[ZLZmv{  
2Au{wqi}  
　　tan（3π/2-α）= cotα ~zgP9.nG=  
e{?8>s 6  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^I uW[B  
Sy,uk\&  
　　(以上k∈Z) PI#cC+b  
7^M`u G.  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ZeCc:^/Z  
y9U;6 9';]  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = iAh~G4q~F  
?C}fB|Y6iP  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } A+u92@k  
/dDKFp|  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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