三角函数内容规律 K5&T4nvop`
4.~)TS=
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. [(G-qg0
BY g& N
9
1、三角函数本质: <
xM_n<S
sK2|" B6M
三角函数的本质来源于定义 SO,/ 9{]=
P!nar
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 qP[a"Z8[
G.u3-{VEu
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 X`d
A7Vq#`
W
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: 0$l0,+
P,M;\
推导: 7i@.yP)2
*SkA2TNR
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 8kv~EZCd
H<6%8D*0
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 9jT\h/
+q^xFW=
A
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @=g%:a bo
h`nMga
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 |9g]NG^nv
.v(
Jmd:
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 4F,L]8%k)
6UYutV9
[1] #OOz*xw%+
=ntQ} !}U
两角和公式 MS\ObbbNO
]C5:*@6Qs
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB AverB
tRq
:v#Qikj
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB .Gq`e1
0[6 Lu@l
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB qQI(+Q
(~Td~D
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB DM{>B*k
~6TQm4Z
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) YT
6Ba H]
QJKjI\,5
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) E rq4u;R
"P s -(
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) \bCAm4]0
P`
qb
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Ss'q>rZZ
yfT+ *
倍角公式 .+M ?$+Yt
`+#PtsNx
Sin2A=2SinA•CosA ,n2()
S&
YvX|b"\n
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 H\e?l!7T@
aUCB*8Np
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ^r!30
]S/lhtRot
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 3&2hUk%%:
+Y3?XoppO'
三倍角公式 Vg%MIb(
]TH9 \R
0s=g2ArWA
:bbP
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) #GShn:8n
KVE^^a>:$
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) B/ kzJo*v
`GGF4?
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Vlm5MmIz
)EFC@\Ej!~
三倍角公式推导 ,~ U
(`LEJT9i
sin3a Wn88~6
#4HYHV
=sin(2a+a) uVmTk!/
>{n=NI$t
=sin2acosa+cos2asina ezp.H=}
"U}$UHa
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina -J^T'{Pjh
e /]!}d}O
=3sina-4sin³a Xq!Xjb
G(1[n3v
cos3a t~*k%"w
BZe
Y|Va
=cos(2a+a) mh+,-R
*0S?tVQkp
=cos2acosa-sin2asina "mf2 Ect[,
9l7JvD
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa
_C=>ah0
;#'lkkfV}
=4cos³a-3cosa &=n
,:@+ 3
sin3a=3sina-4sin³a 6?dI.3
~L5/Lc>>T
=4sina(3/4-sin²a) hX&x,s[
/5>=\wit
=4sina[(√3/2)²-sin²a] XL8 %K^sCv
l:+v/O
=4sina(sin²60°-sin²a) s&
cJH)%,
qCI[*X'tC
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 2)'+CNbZ
V@
w^zvy+
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 7XUXH=P
x+rtM*BeH
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ecnH'aK1
"&Pn^V
cos3a=4cos³a-3cosa 7'Zu^#Hir-
F|nK!^ p
=4cosa(cos²a-3/4)
GlkR"-c:
@rr2Kle2|
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 0 [~,d
o0RP])
=4cosa(cos²a-cos²30°) >} oH
>zyRs
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) mJrg'.6
i`0]^9.6XX
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} m*dyLT>
vu*fj7
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) FF40/R[ t
Lyr/y-(yB
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] k=YUa5Vt
E< }`C|UN
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] f:T3@Ky
w<D~Fv^
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) >KP$Jz4!(
[OkF\
:Y
上述两式相比可得 >
KFVxcb%t
n:L mQ=)
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) C~kndRk
AHTv]h#v[
半角公式 B:^:F,~]O
t%)0R,:1
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Sy~xt*E$
&J9SH/
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 9R6;,6
Oc1@;#8a
和差化积 "} >96'Y
"H d_6$R
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^*'}\H3
4 ;-?#tN
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] od[;^s8
[u+J
;t
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -;m3Le*
Xj|y8LM
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ja|#cwkiG
dr}#g"YU;
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) H-9pIcHIJ
W6jh'g
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ?cPoW
(jH9o1
积化和差 :Sz\;q8<
e:nMLN$x
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] /cPwg:k~
qUW6ef1;a
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] xMqL8Ku
ImrjxS<\
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] -AH{=0d*
g`0dE(1w
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] $~)Ue,6n
C}g[ o:
诱导公式 $DzRDA(m9
{v<)&sqVK
sin(-α) = -sinα dY _XZ>tY
4*n"GJQ
cos(-α) = cosα \z{bi #{p.
q7i~,BE
sin(π/2-α) = cosα k1_{7hKn
-yVh0#NI^
cos(π/2-α) = sinα G0O{~
RDi
W"KU+{C=a
sin(π/2+α) = cosα /pYYn4b Q
selnPeV
cos(π/2+α) = -sinα 3<0{&9X%
fM}<Pqh
sin(π-α) = sinα mHi#,}>U6
,A{3av
cos(π-α) = -cosα ntW_c)ZYU
^ls=[*&
sin(π+α) = -sinα +BfB.H
s(S`YhxN
cos(π+α) = -cosα ype1hMXEA
1{HLGaYw
tanA= sinA/cosA R
l3JC
kdn7y*!|%
tan(π/2+α)=-cotα vg07cVh%
`=PXJ
tan(π/2-α)=cotα rPA(@$6_
@.Lb'x8,
tan(π-α)=-tanα s3TwQP*Ad
V6yFHe
tan(π+α)=tanα ^R<\h_Q
YN.[A@!&
万能公式 {(4(:#XcE
4_A{5Z6B
-n-:M
v&_fYcO
其它公式 Cx/`C5?
?~K6` i|
(sinα)^2+(cosα)^2=1 dbj
A
j@!\$&<
1+(tanα)^2=(secα)^2 dg`is1kHQ
Sj2" Rfo
1+(cotα)^2=(cscα)^2 sHB[J=B1"n
WvSM smp
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Pv$ BM0P1
QT tYJtxH
对于任意非直角三角形,总有 Du&IQrLC
n|Jr2A}
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2{?nRF
S
Z
<"z*d*
)
证: D?M m
L.x~
x|<{#*a
A+B=π-C XyW[0m1
R@_{xbb
tan(A+B)=tan(π-C) #J;<zi.
IV
UJ
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V4W2Z"]W?
,4L~wdN
整理可得 F`'(R4u"
GQR
_pu
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %U@\pa
zt
X \mgQx-88
得证 MuUrQsi.
![;HY+|
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ia3nSEm
Q,}H!Md
其他非重点三角函数 VHSwLwto
L`
jCTn3
csc(a) = 1/sin(a) hr `> i(Z
-y}t~H?w
sec(a) = 1/cos(a) (KLb8oX
!ekH4OM
U#RWmsOA!!
=._
LReX
双曲函数 fcX8W-@
`}HP/
Wo"
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 S3# G/
Z(`q_ny'V
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 *.
^8
i%@-XRqZM
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) \(kLHDu?
&vT=GHQ
公式一: 1vn+rUF
vKdJSQsa
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: 4`zzUd)v]
(jMk7A[`
sin(2kπ+α)= sinα od&fD&9[AH
r~Q'G5
cos(2kπ+α)= cosα +"1 L{)
g
P="xj<a
a
tan(kπ+α)= tanα m c4 q`k
XlnMw
cot(kπ+α)= cotα 9C"tv0Fn
)59T]7
公式二: z0uo}
L1r!NK-
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: 9 ,Yu3u.T
*>oHf
sin(π+α)= -sinα !2s!s ([N
7yEPk*L
cos(π+α)= -cosα pN)bF c"
z}W'e3f9eZ
tan(π+α)= tanα "&zg|8
`:3e([Yy
cot(π+α)= cotα AFr8ycd
VP^)IIHb
公式三: \0M-`m`e
)-in8JhJ
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: $H1qmbJ !
4
S^.E6#W
sin(-α)= -sinα xAmlw
y3 1t
cos(-α)= cosα rU B q
8ymFW@_0
tan(-α)= -tanα QRj/s[~V
se?s-14nal
cot(-α)= -cotα QXFhi~0
7Uo5Nt
公式四: {P@ABZ;
2<Pe$xv
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: H&"80Fm
Yg&6>F]
sin(π-α)= sinα yrCbFM3^
XBVgvLW^
cos(π-α)= -cosα 6GO+2"\
l(+Zpix@/_
tan(π-α)= -tanα EU`S )nm~
.tZjRe
cot(π-α)= -cotα /fw>w) e
%J!*Uw
公式五: E E`"y4Y
t vkx42E
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: Y.dn|gFIb
:Q6k}{l
sin(2π-α)= -sinα I B])n
4H`H*rV
cos(2π-α)= cosα fgr<,H!{Jg
yhJ4t;z\/
tan(2π-α)= -tanα z|M]JM!>
{a't#{zg
cot(2π-α)= -cotα {-?*;jIx
BpL|(q0
公式六: ogAv+l#pV
C[#ndnv1
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: z
$E7)^LP
F!8@<4taa
sin(π/2+α)= cosα &C@#lq9_
U4nD6}B/
cos(π/2+α)= -sinα k2x
f?F
M8O/}
tan(π/2+α)= -cotα )/j,
8Q~zg
>5Ft'6x
cot(π/2+α)= -tanα PCi^^Pf
KDG/JP8%
sin(π/2-α)= cosα <edX``Y5
x}B{|p_,Z
cos(π/2-α)= sinα uI"K &
141hD4
tan(π/2-α)= cotα %D0{pWm
+{Hb2q
cot(π/2-α)= tanα Us-.^85
SDrs2=Z
sin(3π/2+α)= -cosα He"[%jZ
m7k[@$]Z-
cos(3π/2+α)= sinα {6(Ww?x6!d
R` =oE^}
tan(3π/2+α)= -cotα mU!uX8f
$=5Mi8[5
cot(3π/2+α)= -tanα .laKF
I13peA$q\f
sin(3π/2-α)= -cosα e
P :it,k
Z'(&5KCQ
cos(3π/2-α)= -sinα ()[ZLZmv{
2Au{wqi}
tan(3π/2-α)= cotα ~zgP9.nG=
e{?8>s
6
cot(3π/2-α)= tanα ^I uW[B
Sy,uk\&
(以上k∈Z) PI#cC+b
7^M`uG.
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ZeCc:^/Z
y9U;6
9';]
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = iAh~G4q~F
?C}fB|Y6iP
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } A+u92@k
/dDKFp|
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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