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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 $h[ %@!B  
wh_@3,g6  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. SHt{%  
Cj@g%a7~  
　　1、三角函数本质：  gt~Vvm  
M7rJm*I  
　　三角函数的本质来源于定义 h36}oB:  
QLYsX(t  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 bizM8]  
.Tcr@ c;  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 M$6ZlNG(C(  
O~wJAIz!'8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： bIMDdi^)'f  
?{5_4-!c~  
　　推导： Ip9y:hQN)  
~N+itW4  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 /:;Y3[M,Dk  
w.`8>gn  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ofa7 r>n  
{rx$jtj4  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) roP)r1N  
WDRN4{  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 WJ|S*g~  
@GZ +C<-x  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） H@#8Pm.V^  
O0_W!{hfP  
　　[1] ;b:uuhG}w  
I@/7Vw.d  
　　两角和公式 <4}93g$Ta  
_shb? )S  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $Od<lA<*  
NKXiy+Cdvg  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  GS;8iGI  
6E}RD_~H  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ]&.h0U> o  
D WqS8  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB d[;5TjD  
&*|q\sG]U  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) q'];gxg  
@z>%D+  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Jj>mMY8$_i  
X28v,>q92  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  gH czhM-d  
'u_] /:y  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) skJbcSi  
j`a+.l5c"  
倍角公式 AdpJ0E  
o QFo6  
　　Sin2A=2SinA•CosA J`%r|wxM<  
@pVIr8o<:L  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 =|'y*$g\  
B7"HGv  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） #J71Z V  
?IjGI  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7byky]K  
dJe^I  
三倍角公式 J9aJUCj^  
~X0BDlQ>  
　　 dzz`d4.9  
IFz*>Day  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~G\O<[  
rPK V\9S  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ;kgu?~} Uz  
Odd<qy;!  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) hN[anu   
Ggu  
三倍角公式推导 ZM}AFL"gG  
[\gcpLG  
　　sin3a -^@i umbo  
p!_"p\2:  
　　=sin(2a+a) K,OD{L]M  
sW)sk_p?b  
　　=sin2acosa+cos2asina *c_Uink-  
QReXf ;Hj(  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina .Kh|u a-C  
rdeQ`VV  
　　=3sina-4sin³a E\qTU0C2TU  
AX/b[$(=q  
　　cos3a ~akI%cO  
peI- D z~  
　　=cos(2a+a) 'mKOP  
+vsRM~Y(D  
　　=cos2acosa-sin2asina _Zb@HtoA  
3/gO8d;Y  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 8Ap} 5BG  
!*)6YnM*  
　　=4cos³a-3cosa W(\'5wK  
2D/"3E b  
　　sin3a=3sina-4sin³a 9.x|ebY|  
DqAWAd.f  
　　=4sina(3/4-sin²a) +?wQfY 4  
!K`Ns2|Gn  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Hi44AU|N  
<Ck'pW xK  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) vP9x>o=nh  
!PA)o"^  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) tZ+Y&,T.  
g7tQ'GT9  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] xl/_5$  
;BS5v  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) HI0q-oP7  
|QGfG5W  
　　cos3a=4cos³a-3cosa /AZ3oX AN  
WN#t-.S  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Fy[\{D'TJ  
zuh~3dz!4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] VGWQKM -H  
5.6H{m  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) deSP)Bhyy  
kvq D,4J;  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) lG7 3-"lS  
zq`"3:'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ?!M^z=  
1m[<nG(k  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @I.T8R4m  
^<&Cn7i.   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] S> b\A_fi  
2w<>M0?E  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] duTV  
"!&$L"u'h  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]T,$-)2$&  
 glWR97p  
　　上述两式相比可得 xV)4mc  
1Q35e0a  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) +gr}*4  
[ lj~[  
半角公式 *E-N@44P  
\yAU)BSf  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); icL  :s  
4 fxx5  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. hW` @m r  
VjL3 M)%  
和差化积 F2Y(l?j  
hAZE$Kx>  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '>3E;!@k  
+UF |t/7+l  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zR2AVp$|V  
/R(6x,W'  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] l4WG Nul($  
8@y&I?{n7r  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] R@.$ xeM  
__A'hIBL0  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) _h%&q=zs}  
}A|4rhi  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ^-w jz+*  
^O2rS  
积化和差 ( pGa}ZP'  
k,I*E1`A3  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] =hy&}d4uv  
t$gF=|1oKk  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )F,F?~i  
6umjB .V  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] N] !1DLo  
X_B o>D  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~Ni$O!TV  
JAhGoZ R%#  
诱导公式 |7WBSs<4F  
S6-WWL.  
　　sin(-α) = -sinα OrjYwR(  
u<LRf-hNY  
　　cos(-α) = cosα XtOWRuh  
oIe*l ii  
　　sin(π/2-α) = cosα pP+-3{K  
sU s&YfET  
　　cos(π/2-α) = sinα `bt1o\9Tt  
% $tp,-P"b  
　　sin(π/2+α) = cosα :DU{A[D  
| ]|~LT:>X  
　　cos(π/2+α) = -sinα :@@bGUd  
b7-;<6R+ l  
　　sin(π-α) = sinα S<b7-XMC  
[0}-:1"98b  
　　cos(π-α) = -cosα `Yk@R3% !5  
de2jf}&)  
　　sin(π+α) = -sinα M2wSw(o~9Q  
j?,=}\wjEp  
　　cos(π+α) = -cosα L_nG;Tz  
8x}^2D iB  
　　tanA= sinA/cosA J)nECz  
Gq 3_O*b  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 6bAtM2FB  
&$ 3H O"  
　　tan（π/2－α）＝cotα ik=e2gE  
r"G@~4,b  
　　tan（π－α）＝－tanα fY;5!SI  
J!R|Jh+  
　　tan（π＋α）＝tanα tGu t0{  
8:mB-kh$.m  
万能公式 (!MMzf2  
@NgK|tQV  
　　 lw h*~;  
&_%[x _  
其它公式 JUt[V>  
{g-X^!+pi  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 v|9un[.t  
yCUf8  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 rp,aO0.V  
6gaPP{I  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 GC 4nBrZ  
+DTDA  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 20Ojq6.yg  
mg4|Xfm@k  
　　对于任意非直角三角形,总有 c&?.>+GL*1  
1?N'{) u)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC g'N4cN  
y`o_hm,I5  
　　证: P~kL" 6  
!Pi844K  
　　A+B=π-C /dg>B9#(e8  
{t7 @aLU4o  
　　tan(A+B)=tan(π-C) H4cbzSW+g  
4 I#F9I  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 38$CkR  
bz{YRF  
　　整理可得 _ q53z.  
qO3bG  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xwOvlByk  
rqvK 8xoq  
　　得证 RW/T4{z  
e\'i^E.W  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 )W_'==Ay  
W{Yie=VS  
其他非重点三角函数 )!y* yv&  
RZ(U<1LQ  
　　csc(a) = 1/sin(a) Fcl.rKA  
Mq7~3MP-8  
　　sec(a) = 1/cos(a) :H&q  
A)>$_Nq  
　　 `9PT:25  
lo|iBR)dv,  
双曲函数 VQ.|!^K!3f  
D=2 +mn>  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 IFrI<yze[  
%_5DF F  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 `[%^m3'!A  
1I%}aR+9;  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) jwTu&  
\>*my5HXU+  
　　公式一： eK0$ n  
n*$7.`7  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： E $>qFD_  
CIin~Fvr  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Y"bI:mLY  
(07|cf  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Y7:J %l  
]r4N;49n  
　　tan（kπ＋α）= tanα :^}imF&  
guk]h \  
　　cot（kπ＋α）= cotα G%pR-{G.k  
X":~< $  
　　公式二： cfvi4O$G  
x.w"f,Q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： &/H})A?-  
t\:$OW1  
　　sin（π＋α）= -sinα ^SS ~R=  
0}Ck:q  
　　cos（π＋α）= -cosα ON(u=WG:  
"FFxXgj  
　　tan（π＋α）= tanα d\x 0] '  
POV @'[o  
　　cot（π＋α）= cotα  r;1 oG+@  
,zsQ/}"4/  
　　公式三： vno-5f,=  
OrLaWM\LY  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： k)[X >#q  
kXZg`x3:(  
　　sin（-α）= -sinα |<PjG1>  
0Zln%_ !  
　　cos（-α）= cosα gyOJa!__  
sa{rM{  
　　tan（-α）= -tanα ?"Ur;"  
Lw${$I .  
　　cot（-α）= -cotα 0hn5u,W 3  
RfQCG  
　　公式四： gobYSd  
?b+&e  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： r[`zxs>  
B^ oxz  
　　sin（π-α）= sinα $}`79Ik  
{~:Jud  
　　cos（π-α）= -cosα 9)R?c`  
UySZqb="x  
　　tan（π-α）= -tanα ujZNQ;"nJ  
VU$2'YeXq?  
　　cot（π-α）= -cotα d\z.J1X%0  
/8Z`2]*  
　　公式五： u?c8 ^+nA  
_a/J&dd(  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 0f#6=% |  
lVh0[U9;  
　　sin（2π-α）= -sinα 2Af.WuB-  
Z!y!U2KYha  
　　cos（2π-α）= cosα {1%I&E"E!C  
NZg,9F2.F  
　　tan（2π-α）= -tanα C~ t;"  
ypLie*x  
　　cot（2π-α）= -cotα Bk5R!{X7B  
lD]20%  
　　公式六： n,01pRWJ  
+hL^t!Vd_y  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： VFqK Y  
d.J ;/!  
　　sin（π/2+α）= cosα bXz/+4}i  
B2ZUFw 0  
　　cos（π/2+α）= -sinα 9"<qLC@Qnl  
>%D8s>  
　　tan（π/2+α）= -cotα t84r_FM=*  
%[Bp 7a.NT  
　　cot（π/2+α）= -tanα mRdv(u7  
Kl'eb?1  
　　sin（π/2-α）= cosα 2(xXko  
t`X3l\XW  
　　cos（π/2-α）= sinα +i]n+wGv  
 K^y;  
　　tan（π/2-α）= cotα KE!EJ)XF9  
SwZ"p0DG  
　　cot（π/2-α）= tanα qos#We*d}  
|t@ y  
　　sin（3π/2+α）= -cosα &WRJ|+/  
;}g>e?!  
　　cos（3π/2+α）= sinα =GGG'02  
@n}o;I G  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ( i8+y}"  
13r&''\  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Z-Jw6 m([1  
 Z,VCn:i  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  iE9j#U  
uSZVzUMrPS  
　　cos（3π/2-α）= -sinα .h8 {e  
`/n*BDK.  
　　tan（3π/2-α）= cotα AO 3];k  
:G7@]g+  
　　cot（3π/2-α）= tanα X9ExSKU8  
*Xv v Q9y  
　　(以上k∈Z) d@O.7(5[!  
}{8nZS2K  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .d!M~(~ O  
C?E>'b'K@  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 249@J  
{}f{::9O?  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } xb{zSi;,  
dq- o|  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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